{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "pycharm": {
     "name": "#%% md\n"
    }
   },
   "source": [
    "### 数学常用集合符号\n",
    "\n",
    "自然数集N：包括0、正整数\n",
    "\n",
    "整数集Z：自然数和负整数\n",
    "\n",
    "有理数集Q：包括整数及分数\n",
    "\n",
    "实数集R：包括有理数和无理数(无尽无规律数，如pi,2**0.5等)\n",
    "\n",
    "复数集C：包括实数R和虚数I\n",
    "\n",
    "## 为什么学习线性代数？\n",
    "\n",
    "简单来说，就是把复杂的问题线性化。\n",
    "\n",
    "具体分两步：\n",
    "\n",
    "1、将现实问题转化为向量或者向量空间\n",
    "\n",
    "2、对向量或向量空间进行运算\n",
    "\n",
    "## 向量及空间\n",
    "### 向量的物理定义\n",
    "1、有大小\n",
    "2、有方向\n",
    "\n",
    "### 向量的数学定义\n",
    "n个有序数组成的数组$(a_1,a_2,\\cdots,a_n)$称为N维向量v，$a_i$称为向量v的第i分量\n",
    "\n",
    "### 向量集的定义\n",
    "同维的向量组成的集合称为向量集或称为向量组\n",
    "\n",
    "### 向量的线性组合\n",
    "给定向量组$A:{A1,A2,...,Am}$,若存在$Ki:(k1,k2,...,km)$,使得$Bi=k1A1+k2A2+...+kmAm$,其中$ki\\in R$，\n",
    "则称向量$Bi$是向量组A的线性组合，或者说$Bi$可以由向量组A线性表示\n",
    "\n",
    "### 向量集线性无关与线性相关\n",
    "若向量组A内的任意向量均无法用其他向量线性表示，则称向量组A是线性无关的；反之，若向量组A内的任一向量可以由其他向量线性表示，则称向量组A是线性相关的\n",
    "含零向量的向量组必然相关\n",
    "\n",
    "线性无关的向量组，对其进行升维后，仍是线性无关；\n",
    "同理，线性相关的向量组，对其\n",
    "\n",
    "\n",
    "进行降维后，仍是线性相关；\n",
    "\n",
    "### 向量空间的定义\n",
    "设V为一向量组，如果V非空，且V对于向量的加法及数乘两种运算封闭，那么就称V为向量空间。\n",
    "所谓封闭，是指在V中向量进行数乘和加减，其结果依然在V中。\n",
    "向量空间必.包含零向量\n",
    "\n",
    "直线：1维实数向量空间\n",
    "面：2维实数向量空间\n",
    "立方体：3维实数向量空间\n",
    "\n",
    "### 张成空间的定义\n",
    "向量组V其所有线性组合构成的集合称为向量组V的张成空间，记为span(V)\n",
    "\n",
    "\n",
    "### 等价向量组的定义\n",
    "对于两个向量组A、B，若A中的所有向量均可以由B中的向量线性表示，同时B中的所有向量也可以由A中的向量线性表示，则成A、B是等价向量组\n",
    "等价向量组的张成空间是一致的，同理，张成空间一致的向量组必定是等价向量组\n",
    "\n",
    "A、B是等价向量组$\\Longleftrightarrow $span(A)=span(B)\n",
    "\n",
    "### 最大线性无关组的定义\n",
    "对于向量组V:{a1,a2,...,am},若a1,a2,...,ar是线性无关，且任意r+1个向量是线性相关的话，那么V0:{a1,a2,...,ar}是V的一个最大线性无关组，简称最大无关组\n",
    "最大无关向量组不是唯一的，但其向量个数是唯一的r,这个r称为秩或者维度，而V0称为向量组V的基，向量组V的秩定义为rank(V)或r(V)\n",
    "基不是唯一的，但每组基的向量个数是唯一的，或者说各基的秩是相等的\n",
    "自然基是一类特殊的基，其每个N维基向量长度为1，其中一个分量为1，其它N-1分量分量均为0。对于2维实数向量空间，(1,0),(0,1)就是是其自然基\n",
    "\n",
    "注意区分向量空间的维度和向量(组)维度:向量组维度指的是向量组中的向量有多少分量，向量空间维度是指向量空间可由至少需由多少向量张成\n",
    "\n",
    "### 坐标的定义\n",
    "对于向量空间V，其基定义为V0:{a1,a2,...,ar}，若向量X可以由V0唯一表示：X=k1a1+k2a2+...+krar,则称向量X在V0基下的坐标为:(k1,k2,...,kr)\n",
    "\n",
    "### 欧几里得空间\n",
    "向量空间+长度和角度==欧几里得空间"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "pycharm": {
     "name": "#%% md\n"
    }
   },
   "source": [
    "其中，向量v的长度被定义为:||v||;角度定义为$\\theta$\n",
    "假定自然基下，***a、b***的坐标分别为(a1,a2),(b1,b2)，***a、b***为非零向量。由余弦定理,$cos\\theta=\\frac{a1b1+a2b2}{||a||||b||}$\n",
    "\n",
    "### 向量的点积\n",
    "对于向量$\\mathbb{x}=\\left(\\begin{align}x_1\\\\\\vdots\\\\x_n\\end{align}\\right)$，$\\mathbb{y}=\\left(\\begin{align}y_1\\\\\\vdots\\\\y_n\\end{align}\\right)$，其点积$\\mathbb{x \\cdot y}$定义为\n",
    "$\\mathbb{x \\cdot y}=x_1y_1+\\cdots+x_ny_n=\\sum_{i=1}^n{x_iy_i}$\n",
    "。n维空间的长度被定义为：\n",
    "$\\|a\\|=\\sqrt{a\\cdot a}$。\n",
    "角度定义为：$\\cos\\theta=\\frac{\\sqrt{a \\cdot b}}{\\|a\\|\\|b\\|},a\\quad and \\quad b \\neq \\mathbb{0}$\n",
    "当角度为0时，两个向量时垂直的，或者说是独立的，或者是正交的。\n",
    "在高维空间里面，向量a,b的长度$\\|a-b\\|$看成是欧氏距离，而$\\cos\\theta$看作余弦距离，常用来描述两者之间的相似度或相关性。"
   ]
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